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Zernike多项式及其在低温光学中的应用

[ 字号：大中小 ] [ 关闭 ] 2009-3-19 14:04:54 来自网络作者：admin 浏览次数：次发表评论

随着空间技术的不断发展，对地探测、大气观测、及天体观测等应用卫星也不断地发展。这些卫星大都需要探测器及其相关仪器来实现观测任务。对于这些探测器和仪器来说，最主要的是减少放大器的噪声和宇宙辐射背景的噪声，来提高探测器的灵敏度和成像的质量。由于空间背景的平均温度低于4K，光学系统的热辐射成了红外探测系统的主要热背景来源。为了提高探测器的灵敏度，就需要降低光学系统本身的温度。工作在低温条件下的光学系统，与常规的光学系统有很大的不同。当光学系统从室温降低至运行温度时，就会发生热变形，特别是光学元件的面形的改变，对光学成像质量有很大的影响。在光学元件发生变形的时候，元件的表面就变的不规则起来，此时就不能用一般的标准方程来描述。有很多方法用以描述计算光学元件的表面面形，如最小二乘法、Gram-Schmidt方法、协方差法和SVD法，但是最理想的一种方法是Zernike多项式法。由于它的正交特性，它对于测量数据点两维的多项式拟合是非常可行的[1]。

1 Zernike多项式

自1934年F.Zernike构造出Zernike多项式以来，它在工程项目中得到了广泛的应用，特别是用以描述镜面面型。它不但能精确地表示一个表面，还具有很多其它优点：它具有良好的数学性能，多项式之间是正交的和独立的；多项式的前几项的值和光学系统的初级相差相对应。

Zernike 多项式描述了表面变形而多出的那部分值，其表达式为：

（1）

式中：——多项式第i项的系数；

—— 径向长度除以最大的径向值；

—— 角度；

N—— 多项式的最大项数。

根据文献[2]，该表达式一般取到第28项就足够精确。热分析变形得到的结果是由直角坐标系的变形值，因此需要把公式转化成直角坐标系。如表1为的直角坐标表达式。

表1 的直角坐标表达式

项数i	直角坐标系表达式	项数i	直角坐标系表达式
1	1	15
2		16
3		17
4		18
5		19
6		20
7		21
8		22
9		23
10		24
11		25
12		26
13		27
14		28

2 Zernike多项式拟合

2.1 镜面温度场的拟合

环模试验可以在玻璃表面粘贴温度传感器获得测点温度。但是热光学分析需要知道每个节点或单元的温度，实际中很难测量这些点的温度，再加上很难准确掌握内部的温度，所以需要在测量的温度的基础上分析出其它节点或单元的温度。采用Zernike 多项式拟合和最小二乘法拟合的方法可以求出如公式（2）的多项式系数，并获得所有其它节点的温度值。使用该方法并通过有限元计算的表面变形结果非常吻合光学测量的结果[3]。

（2）

式中： ——（x,y）点处的温度值；

x,y —— 光学元件表面的坐标值；

—— 多项式系数。

2.2 镜面面形拟合

在有限元分析的软件中，可以得到光学元件表面的变形输出文件，包括：，i=1M。其中，为光学元件表面的第i个节点上的坐标值，为为镜面在第i个接点处的变形值，M为光学元件表面的接点数。

Zernike多项式的拟合采用Matlab软件，其实质是波面的拟合，即用Zernike多项式对元件的表面拟合。通过有限元软件可以得到镜面的变形值（），则可以得n项的Zernike多项式的表达式：

（3）

（2）式中，m为面上的第m个点。为已知，可以由表1给出的公式求出，只有是未知量。由于mn,因此采用最小二乘法来求解参数。Matlab软件对矩阵运算的功能十分强大，用该软件和最小二乘法算法编程可以得到很好的计算结果。

3 动镜面形的Zernike多项式拟合

动镜是航天某低温光学系统中的关键光学元件之一，它对任何微小振动和面形变化都非常敏感，并会导致探测器的灵敏度下降。图1所示是动镜在150K时,用COSMOSWORKS软件分析的有限元分析模型。动镜的温度水平、轴向温差、周向温差和径向温差都对系统的运行都有影响，下面以轴向温差为例进行拟合分析。

图1 COSMOSWORKS有限元分析模型

图2 动镜前后表面温度相差1K热分析温度显示

图2和图3分别给出了动镜前后表面温度相差1K(温度水平150K)的热分析温度和热应力分析轴向（Z方向）位移的结果。首先用COSMOSWORKS软件对动镜的热分析；根据动镜上下面周边固定的边界限制条件，在热分析温度结果的基础上对动镜模型进行热应力分析，可得到图3的动镜的轴向位移。把上下表面的轴向位移分别导出，就可以得到镜面的变形值（）。

图3 动镜前后表面温度相差1K热应力分析的轴向位移显示

把上面得到的镜面的变形值（）分别代入公式（3），然后通过Matlab软件，用最小二乘法编程求解，就得到多项式系数的拟合结果。如下表是动镜的Zernike多项式拟合结果：

表2 动镜前后表面温度相差1K(温度水平150K)的热变形的拟合系数

i	1	2	3	4	5	6
A_i×10^-30	0.000009	-0.000005	-0.000003	0.005349	-0.000047	0.003852
i	7	8	9	10	11	12
A_i×10^-30	-0.044975	-0.006469	-0.000751	0.001461	4.9041	0.057103
i	13	14	15	16	17	18
A_i×10^-30	-0.058786	0.023658	-0.011188	-9.2063	-6.64321	12.504
i	19	20	21	22	23	24
A_i×10^-30	-1.5463	2.9845	-0.19781	1.41341×10¹¹	-73.243	26.579
i	25	26	27	28
A_i×10^-30	-14573	-137540	1.1720	-22.303

表3 动镜前后表面温度相差3K(温度水平150K)的热变形的拟合系数

i	1	2	3	4	5	6
A_i×10^-30	0	0	0	0.000075	0	0.000052
i	7	8	9	10	11	12
A_i×10^-30	-0.000014	-0.000008	-0.000003	0.000016	0.096096	0.000324
i	13	14	15	16	17	18
A_i×10^-30	-0.0004081	-0.000111	-0.00019	-0.025287	-0.023488	0.06691
i	19	20	21	22	23	24
A_i×10^-30	-0.015305	0.008775	0.001546	1.267×10¹¹	-0.54009	0.010027
i	25	26	27	28
A_i×10^-30	-377.86	-7008.5	0.011843	-0.42342

表4 动镜前后表面温度相差5K(温度水平150K)的热变形的拟合系数

i	1	2	3	4	5	6
A_i×10^-31	0.00001	-0.000004	-0.000002	0.0086757	-.000003	0.0062816
i	7	8	9	10	11	12
A_i×10^-31	-0.003848	-0.006241	0.0000342	0.000308	9.4318	0.24214
i	13	14	15	16	17	18
A_i×10^-31	-0.030043	0.025474	-0.003862	-11.096	-6.4169	11.523
i	19	20	21	22	23	24
A_i×10^-31	-0.70702	2.4908	0.13987	5.2805×10¹¹	-28.282	397.73
i	25	26	27	28
A_i×10^-31	-8382.9	-383540	-1.9794	-9.3343

从表2-4可以看出，各项系数的数量等级比要小的多，因此在150K的温度水平轴向温差对系统的影响较小。把表2-4中的Zernike多项式的系数分别代入Zemax光学软件的表面数据中，就可以得到动镜的面形，然后得到动镜变形后光学质量的改变。

4 小结

低温光学系统的集成热分析法代表着目前工程热分析的最高水平，这种方法首先采用热分析软件进行温度场分析，再对温度场进行热应力分析，把获得的热应力分析结果转化为Zernike多项式，最后导入光学分析软件(ZEMAX)中，可求得光学系统的光学传递函数和各类光学象差，并对系统进行热分析综合评价。而Zernike多项式拟合是集成热分析中最重要的一步，其用Matlab软件所做的热分析和光学分析的接口程序决定了拟合多项式准确度，因此要重视对程序算法的研究。